Краткая выдержка о числе Грэма

В 1976 году Дональд Кнут предложил ввести новую операцию - “стрелочные обозначения” - упрощенную запись больших чисел. Выглядят они как 1 и более таких стрелок: $↑$.

Выражения

• Сложение. Формула:

  $$a + b = c$$

  Пример:

  $$5 + 5 = 10$$

• Умножение - многократное сложение. Формула:

  $$a * b = \underbrace{a + a + ... + a}_{b} = c$$

  Пример:

  $$3 * 5 = \underbrace{3 + 3 + 3 + 3 + 3}_{5} = 15$$

• Возведение в степень - многократное умножение. Формула:

  $$a ^ b = \underbrace{a * a * ... * a}_{b} = c$$

  Пример:

  $$3 ^ 5 = 3 ↑ 5 = \underbrace{3 * 3 * 3 * 3 * 3}_{5} = 243$$

• Тетрация - “Двойная стрелка” - многократное возведение в степень. Формула:

  $$a ↑↑ b = ^{b}a = \underbrace{a ^ {a ^ {... ^ a}}}_{b} = \underbrace{a ↑ (a ↑ (... ↑ a))}_{b}$$

  Пример:

  $$3 ↑↑ 3 = ^{3}3 = \underbrace{3 ^ {3 ^ {3}}}_{3} = \underbrace{3 ↑ (3 ↑ 3)}_{3} = 7625597484987$$ $$4 ↑↑ 3 = ^{3}4 = \underbrace{4 ^ {4 ^ {4}}}_{3} = \underbrace{4 ↑ (4 ↑ 4)}_{3} \approx 1.340 * 10^{154}$$ $$5 ↑↑ 3 = ^{3}5 = \underbrace{5 ^ {5 ^ {5}}}_{3} = \underbrace{5 ↑ (5 ↑ 5)}_{3} \approx 1.911 * 10^{2184}$$

• Пентация - “Тройная стрелка” - многократная “Двойная стрелка”. Формула:

  $$a ↑↑↑ b = \underbrace{a ↑↑ (a ↑↑ (... ↑↑ a))}_{b}$$

  Пример:

  $$3 ↑↑↑ 3 = \underbrace{3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)}_{3} = 3 ↑↑ (3 ↑ 3 ↑ 3) = \underbrace{3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3}_{3 ↑ 3 ↑ 3} = \underbrace{3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3}_{7625597484987}$$

• “Четверная стрелка” - многократная “Тройная стрелка”. Формула:

  $$a ↑↑↑↑ b = \underbrace{a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (... ↑↑↑ a))}_{b}$$

  Пример:

  $$3 ↑↑↑↑ 3 = \underbrace{3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)}_{3}$$

• “N-ная стрелка” - многократная “$n-1$-ная стрелка”. Формула:

  $$\underbrace{a ↑↑ ... ↑ b}_{n} = a ↑^n b = \underbrace{ a \underbrace{↑ ... ↑}_{n-1} a \underbrace{↑ ... ↑}_{n-1} a ... a \underbrace{↑ ... ↑}_{n-1} a }_{b}$$

  Пример:

  $$3 ↑↑↑↑ 3 = \underbrace{3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)}_{3}$$

Что такое число Грэма

G(1) - результат выражения $3↑↑↑↑3$, G(2) - результат $\underbrace{3 ↑↑ ... ↑ 3}_{G(1)}$, G(3) - результат уже $\underbrace{3 ↑↑ ... ↑ 3}_{G(2)}$, и так до числа G(64) - числа Грэма. Формула:

Подробнее по теме

1. Стрелочные обозначения Кнута
2. Число Грэма
3. YouTube - Onigiri - Самые большие числа