Краткая выдержка о числе Грэма 10.02.2024 21:02 UTC
В 1976 году Дональд Кнут предложил ввести новую операцию - “стрелочные обозначения” - упрощенную запись больших чисел. Выглядят они как 1 и более таких стрелок:
↑ ↑ ↑ .
Выражения
Сложение. Формула:
a + b = c a + b = c a + b = c
Пример:
5 + 5 = 10 5 + 5 = 10 5 + 5 = 10
Умножение - многократное сложение. Формула:
a ∗ b = a + a + . . . + a ⏟ b = c a * b = \underbrace{a + a + ... + a}_{b} = c a ∗ b = b a + a + ... + a = c
Пример:
3 ∗ 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ⏟ 5 = 15 3 * 5 = \underbrace{3 + 3 + 3 + 3 + 3}_{5} = 15 3 ∗ 5 = 5 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Возведение в степень - многократное умножение. Формула:
a b = a ∗ a ∗ . . . ∗ a ⏟ b = c a ^ b = \underbrace{a * a * ... * a}_{b} = c a b = b a ∗ a ∗ ... ∗ a = c
Пример:
3 5 = 3 ↑ 5 = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ⏟ 5 = 243 3 ^ 5 = 3 ↑ 5 = \underbrace{3 * 3 * 3 * 3 * 3}_{5} = 243 3 5 = 3 ↑ 5 = 5 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 243
Тетрация - “Двойная стрелка” - многократное возведение в степень. Формула:
a ↑ ↑ b = b a = a a . . . a ⏟ b = a ↑ ( a ↑ ( . . . ↑ a ) ) ⏟ b a ↑↑ b = ^{b}a = \underbrace{a ^ {a ^ {... ^ a}}}_{b} = \underbrace{a ↑ (a ↑ (... ↑ a))}_{b} a ↑↑ b = b a = b a a .. . a = b a ↑ ( a ↑ ( ... ↑ a ))
Пример:
3 ↑ ↑ 3 = 3 3 = 3 3 3 ⏟ 3 = 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) ⏟ 3 = 7625597484987 3 ↑↑ 3 = ^{3}3 = \underbrace{3 ^ {3 ^ {3}}}_{3} = \underbrace{3 ↑ (3 ↑ 3)}_{3} = 7625597484987 3 ↑↑ 3 = 3 3 = 3 3 3 3 = 3 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) = 7625597484987
4 ↑ ↑ 3 = 3 4 = 4 4 4 ⏟ 3 = 4 ↑ ( 4 ↑ 4 ) ⏟ 3 ≈ 1.340 ∗ 1 0 154 4 ↑↑ 3 = ^{3}4 = \underbrace{4 ^ {4 ^ {4}}}_{3} = \underbrace{4 ↑ (4 ↑ 4)}_{3} \approx 1.340 * 10^{154} 4 ↑↑ 3 = 3 4 = 3 4 4 4 = 3 4 ↑ ( 4 ↑ 4 ) ≈ 1.340 ∗ 1 0 154
5 ↑ ↑ 3 = 3 5 = 5 5 5 ⏟ 3 = 5 ↑ ( 5 ↑ 5 ) ⏟ 3 ≈ 1.911 ∗ 1 0 2184 5 ↑↑ 3 = ^{3}5 = \underbrace{5 ^ {5 ^ {5}}}_{3} = \underbrace{5 ↑ (5 ↑ 5)}_{3} \approx 1.911 * 10^{2184} 5 ↑↑ 3 = 3 5 = 3 5 5 5 = 3 5 ↑ ( 5 ↑ 5 ) ≈ 1.911 ∗ 1 0 2184
Пентация - “Тройная стрелка” - многократная “Двойная стрелка”. Формула:
a ↑ ↑ ↑ b = a ↑ ↑ ( a ↑ ↑ ( . . . ↑ ↑ a ) ) ⏟ b a ↑↑↑ b = \underbrace{a ↑↑ (a ↑↑ (... ↑↑ a))}_{b} a ↑↑↑ b = b a ↑↑ ( a ↑↑ ( ... ↑↑ a ))
Пример:
3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ ( 3 ↑ ↑ 3 ) ⏟ 3 = 3 ↑ ↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ . . . ↑ 3 ⏟ 3 ↑ 3 ↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ . . . ↑ 3 ⏟ 7625597484987 3 ↑↑↑ 3 =
\underbrace{3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)}_{3} =
3 ↑↑ (3 ↑ 3 ↑ 3) =
\underbrace{3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3}_{3 ↑ 3 ↑ 3} =
\underbrace{3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3}_{7625597484987} 3 ↑↑↑ 3 = 3 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ 3 ) = 3 ↑↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ 3 3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3 = 7625597484987 3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3
“Четверная стрелка” - многократная “Тройная стрелка”. Формула:
a ↑ ↑ ↑ ↑ b = a ↑ ↑ ↑ ( a ↑ ↑ ↑ ( . . . ↑ ↑ ↑ a ) ) ⏟ b a ↑↑↑↑ b =
\underbrace{a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (... ↑↑↑ a))}_{b} a ↑↑↑↑ b = b a ↑↑↑ ( a ↑↑↑ ( ... ↑↑↑ a ))
Пример:
3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ ↑ ( 3 ↑ ↑ ↑ 3 ) ⏟ 3 3 ↑↑↑↑ 3 =
\underbrace{3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)}_{3} 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 3 ↑↑↑ ( 3 ↑↑↑ 3 )
“N-ная стрелка” - многократная “n − 1 n-1 n − 1 -ная стрелка”. Формула:
a ↑ ↑ . . . ↑ b ⏟ n = a ↑ n b = a ↑ . . . ↑ ⏟ n − 1 a ↑ . . . ↑ ⏟ n − 1 a . . . a ↑ . . . ↑ ⏟ n − 1 a ⏟ b \underbrace{a ↑↑ ... ↑ b}_{n} =
a ↑^n b =
\underbrace{
a
\underbrace{↑ ... ↑}_{n-1}
a
\underbrace{↑ ... ↑}_{n-1}
a ... a
\underbrace{↑ ... ↑}_{n-1}
a
}_{b} n a ↑↑ ... ↑ b = a ↑ n b = b a n − 1 ↑ ... ↑ a n − 1 ↑ ... ↑ a ... a n − 1 ↑ ... ↑ a
Пример:
3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ ↑ ( 3 ↑ ↑ ↑ 3 ) ⏟ 3 3 ↑↑↑↑ 3 =
\underbrace{3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)}_{3} 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 3 ↑↑↑ ( 3 ↑↑↑ 3 )
Что такое число Грэма
G(1) - результат выражения 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 3↑↑↑↑3 3 ↑↑↑↑ 3 , G(2) - результат 3 ↑ ↑ . . . ↑ 3 ⏟ G ( 1 ) \underbrace{3 ↑↑ ... ↑ 3}_{G(1)} G ( 1 ) 3 ↑↑ ... ↑ 3 , G(3) - результат уже 3 ↑ ↑ . . . ↑ 3 ⏟ G ( 2 ) \underbrace{3 ↑↑ ... ↑ 3}_{G(2)} G ( 2 ) 3 ↑↑ ... ↑ 3 , и так до числа G(64) - числа Грэма. Формула:
3 ↑ ↑ . . . ↑ 3 ⏟ 3 ↑ ↑ . . . ↑ 3 ⏟ . . . ⏟ 3 ↑ ↑ . . . ↑ 3 ⏟ 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 } 64 \begin{rcases}
\underbrace{
\underbrace{
\underbrace{
\underbrace{
3 ↑↑ ... ↑ 3
}_{3↑↑...↑3}
}_{...}
}_{3↑↑...↑3}
}_{3↑↑↑↑3}
\end{rcases} 64 3 ↑↑↑↑ 3 3 ↑↑ ... ↑ 3 ... 3 ↑↑ ... ↑ 3 3 ↑↑ ... ↑ 3 ⎭ ⎬ ⎫ 64
Подробнее по теме
Стрелочные обозначения Кнута
Число Грэма
YouTube - Onigiri - Самые большие числа